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　　Sudoku 数独实验报告

　　一、 算法描述

　　求解Sudoku让人最容易想到的方法是穷举每个方格可能的值，如果符合条件，则得到解，不符合条件则进行回溯。通过递归的方法，显然可以得到数独的解。

　　我想到的简单的递归方法，是每一行从左到右，试验每一个方格可能的数字，进行递归。这种方法看似非常麻烦，实际上对于一般的数独题，速度是非常快的，思想比较简单，写出来的代码也非常简单、易懂。

　　算法1：简单递归方法

　　从第一个格开始，从1到9试验，是否满足行、列、九宫格互不相同的条件。若满足条件，则填入该数字，再试验下一个格。当一个格子出现没有数字能填的情况时，说明已经填的数字有误，回溯，再进行递归。

　　算法2：优化的递归算法

　　先遍历所有格子，统计每种格子可能出现数字的个数。每次挑选可能出现数字个数最少的格子来进行递归。

　　设置三维数组poss[i][j][k]来存储可能出现数字的信息。poss[i][j][0]记录i行j列的格子可能出现数字的个数，poss[i][j][k](1<=k<=9) 若poss[i][j][k]=1，表示k可能在（i，j）格出现。若poss[i][j][k]=0，表示k不可能在（i，j）格中出现。每次找poss[i][j][0]最小的格子，来进行下一个递归。

　　算法3：生成数独棋盘的算法

　　我最开始的想法是穷举法，随机生成满足行各不相同的9行，再判断9宫格、每列是否符合要求，符合条件时，随机生成停止。然而，这种算法的当然时间复杂度显然是过高。第99一步的随机生成的次数是9*9/P9=9608。随机生成一组棋盘耗时就非常大。后来，我从求解的个数的程序获得启发。算法二对于1000多组解的数独棋盘，解起来也很快。随机生成填9个方格，再用算法一的方法解出来，取第一组正确的解作为棋盘即可生成填好的棋盘。再把一定数量的格子的数字随机删除，计算解的个数。如果解唯一，就得到了棋盘。

　　二、数据结构

　　这三种算法的数据结构不是非常复杂，只是普通的数组。

　　算法一：数组a[i][j]

　　算法二：数组a[i][j]和poss[i][j][k]

　　算法三：数组a[i][j]和poss[i][j][k]

　　三、时间效率分析

　　算法1：这种算法在tsinsen系统上只用了15ms得到全部答案。

　　虽然这种算法在tsinsen系统的测试中有很好的表现，但是我试了试在几道骨灰级难度的题，发现这种算法可能会用到10秒以上的时间，并且测试数据不同，时间差异非常大。

　　我认为，这种算法的漏洞在于，如果开始的格子可能出现的数字非常多，递归树开始的枝会非常多。并且，我们一般做数独题，都会先挑可能出现数字个数最少的格子来填，充分利用了已知条件。然而，这种算法只按格子的行列顺序来试验，显然非常傻。于是，我想出了第二种算法。

　　算法2：这种算法耗时长。

　　非常令人失望的是，虽然它能在短时间内解出骨灰级题目，但是，和上一个算法相比，对于简单的题目，它比较耗时。在tsinsen系统中测试的时间是91ms。它的缺陷在于，每次递归都必须更新（i，j）格子所在的行、列、九宫格所有的元素。每次要求20个数的poss[i][j]。回溯同样要更新。并且求poss[i][j]的函数时间复杂度是O（n）。每一步所耗时间比上一种算法多很多。但是，总的试验的步数能显著减少。 所以，这种算法适用于数独解题的动画演示和解极难题目。

　　四、程序结构

　　五、运行结果

　　六、总结和反思

　　后来老师提高了难度，要求程序能求出多解数独题的解的个数。几千个解的数据都能迅速得出答案，但是几万个解的数据，需要很长时间，更别提几百万的数据。这两种递归的算法都有问题，优化的空间也有限，需要更强大、高效的算法。

　　这次Project让我不断思考，改进了最初的算法。编程是确实是一个克服困难、不断改进与超越的过程。总有新的数据摆在面前，把原来的算法打击得很惨，激励着我们研究更加先进的算法。

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